Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．g（x）=x²-2x，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），則a的取值范圍是a＞ln2-1．

Answer 1

分析 由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x），從而求導(dǎo)確定函數(shù)的最值，從而由最值確定a的取值范圍．

解答 解：由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x）．
由已知，g_max（x）=0，
f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，（x＞0）；
當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，ax-1＜0，在區(qū)間（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
①當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{a}$＞2，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f_max（x）=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，故ln2-1＜a≤$\frac{1}{2}$．
②當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜2，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{a}$，2]上單調(diào)遞減，
故f_max（x）=f（$\frac{1}{a}$）=-2-$\frac{1}{2a}$-2lna．
由a＞$\frac{1}{2}$可知lna＞ln$\frac{1}{2}$＞ln$\frac{1}{e}$=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f_max（x）＜0，
綜上所述a＞ln2-1．
故答案為：a＞ln2-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．