Question

設(shè)函數(shù)，其中

（1）若，求在上的最值；

（2）若在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，令，試證：恒成立.

 

Answer 1

（1）參考解析，（2）（3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在定義域內(nèi)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值.

（2）由函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即導(dǎo)函數(shù)的值為零時(shí)的根在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.再根據(jù)區(qū)間根的運(yùn)算即可得到結(jié)論.

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)即可得到， 即，所以當(dāng)恒成立，由題意要證，其中的變量為正數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的.再通過令.，以及即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021706012144125812/SYS201502170601268789197510_DA/SYS201502170601268789197510_DA.004.png">，

時(shí)，由

得 2分

當(dāng)時(shí)，，

，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021706012144125812/SYS201502170601268789197510_DA/SYS201502170601268789197510_DA.025.png">

所以

所以，

（2）依題意，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根， 6分

設(shè)，則，解得 8分

（3）=，

顯然，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，恒成立. 10分

令，則有 12分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.2.函數(shù)的極值.3.函數(shù)與不等式的關(guān)系.4.構(gòu)建函數(shù)的數(shù)學(xué)思想.