Question

已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足2sinA=

3

sinC-sinB
（Ⅰ）求∠A的取值范圍；
（Ⅱ）若∠A取最大值時(shí)∠B=

π

6

，且BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為

7

，求此時(shí)△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知化簡(jiǎn)可得

sinA

3 -cosA

=

sinC

2+cosC

，以

1

m

代替上式，由角C的存在性找出

1

m

的取值限制，再由m推求對(duì)A的取值限制，可求得A的范圍．
（Ⅱ）由已知由三角形面積公式即可求值．

解答： 解：（Ⅰ）已知2sinA=

3

sinC-sinB，將sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入：
2sinA=

3

sinC-sinAcosC-cosAsinC；
分離A、C：

sinA

3 -cosA

=

sinC

2+cosC

；①
以

1

m

代替上式，由角C的存在性找出

1

m

的取值限制，再由m推求對(duì)A的取值限制，這樣就能滿足各種要求；
由

sinC

2+cosC

=

1

m

⇒msinC=2+cosC
⇒m²sin²C=4+4cosC+cos²C
⇒（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0；
若三角形存在，即C存在，上列關(guān)于cosC的二次方程有實(shí)數(shù)解，根的判別式不小于0：
4²-4×（1+m²）（4-m²）≥0
⇒m²-3≥0
⇒m≥

3

；
重回①式：

sinA

3 -cosA

≤

1

3

⇒

3

sinA≤

3

-cosA
⇒3sin²A≤3-2

3

cosA+cos²A；
消去正弦函數(shù)：4cos²A-2

3

cosA≤0，
解得：cosA≥

3

2

，A=0°～30°；
（Ⅱ）∵若A=90°，B=

π

6

，BC邊上的中線AM=

7

，
∴則此直角三角形斜邊BC=2AM=2

7

，短邊AC=

7

，中直角邊AB=

21

，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×

7

×

21

=

7 3

2

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，一元二次方程的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．