Question

一袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同且標(biāo)號(hào)分別為3，4，5三個(gè)小球，從袋子中有放回地先后抽取兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)分別為a，b，記ξ=|a-4|+|a-b|．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并寫(xiě)出事件“ξ取最大值”的概率．
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分析出，ξ取最大值為3，求解出P（ξ=3）=

1+1

C 1 3 C 1 3

=

2

9

即可，
（2）分類求解：當(dāng)ξ=0時(shí)，當(dāng)ξ=1時(shí)，當(dāng)ξ=2時(shí)，當(dāng)ξ=3時(shí)，分類求解．

解答： 解：（Ⅰ）a，b的可能取值為3，4，5．則|a-4|≤1，|a-b|≤2，
當(dāng)

a=3 b=5

或

a=5 b=3

時(shí)，ξ取最大值為3，
故P（ξ=3）=

1+1

C 1 3 C 1 3

=

2

9

，
（Ⅱ）ξ 的可能取值為0，1，2，3．
當(dāng)ξ=0時(shí)，即a=b=4，則P（ξ=0）=

1

9

；
當(dāng)ξ=1時(shí)，a，b的解有

a=4 b=3

或

a=4 b=5

或

a=5 b=5

或

a=3 b=3

，
即P（ξ=1）=

4

9

；
當(dāng)ξ=2時(shí)，
只有當(dāng)

|a-4|=1 |a-b|=1

成立，所以

a=5 b=4

或

a=3 b=4

，
即p（ξ=2）=

2

9

；    
當(dāng)ξ=3時(shí)，易知P（ξ=3）=

2

9

．

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

所以ξ的分布列為：
則 E_ξ×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型的概率分布，數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．