Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC=4．
（I）求證：平面PBD⊥平面ABCD；
（II）求直線(xiàn)CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理，只要證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)即可，從圖可看出，只要證PO⊥平面ABCD即可．
（2）設(shè)平面PDC的法向量為$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直線(xiàn)CB與平面PDC所成角θ，求出一個(gè)法向量為，可得 $\overrightarrow{n}$ 和 $\overrightarrow{CB}$ 夾角的余弦值，即為直線(xiàn)CB與平面PDC所成角的正弦值．

解答 證明：（1）設(shè)O是BD的中點(diǎn)，連接AO，
∵△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴PB=PD=2，
又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴OB=$\sqrt{2}$．
在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，AO=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$．
在△PAO中，PO²+OA²=4=PA²，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，
∴PO⊥平面ABCD．
∵PO?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴過(guò)O分別做AD，AB的平行線(xiàn)，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0），C（1，3，0），P（0，0，$\sqrt{2}$）
則$\overrightarrow{PD}=（1，-1，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（1，3，-\sqrt{2}）$．
設(shè)平面PDC的法向量為$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直線(xiàn)CB與平面PDC所成角θ，
則$\left\{\begin{array}{l}\vec n\overrightarrow{•PC}=0\\ \vec n\overrightarrow{•PD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\\{x_1}-{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{2}{z_1}\end{array}\right.$，令z₁=1，
則平面PDC的一個(gè)法向量為$\vec n=（\sqrt{2}，0，1）$，又$\overrightarrow{CB}=（-2，-2，0）$，
則$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{CB}＞}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴直線(xiàn)CB與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判斷以及線(xiàn)面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決線(xiàn)面角的常用方法．