Question

19．（1）已知復數(shù)z=3+bi，（i為虛數(shù)單位，b為正實數(shù)），且（z-2）²為純虛數(shù)，求復數(shù)z；
（2）已知（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中各二項式系數(shù)之和為16，求展開式中x項的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知求出（z-2）²，利用實部為0且虛部不為0求得b，則z可求；
（2）由題意可得展開式中各二項式系數(shù)之和2ⁿ=16，從而求得n的值，的展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求得 r的值，可得展開式中x項的系數(shù)

解答 解：（1）復數(shù)z=3+bi，（i為虛數(shù)單位，b為正實數(shù)），
則（z-2）²=（3-2+bi）²=（1+bi）²=1-b²-2bi，
∵（z-2）²為純虛數(shù)，
∴1-b²=0，
解得b=1，
∴z=3+i，
（2）由題意可得展開式中各二項式系數(shù)之和2ⁿ=16，∴n=4．
（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項公式為 T_r+1=C₄^r•3^4-r•x${\;}^{4-\frac{3}{2}r}$，令4-$\frac{3}{2}r$=1，求得 r=2，
∴展開式中x項的系數(shù)為C₄²×3²=54．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．