Question

20．甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間互不影響，只要有一對獲勝4場就結束比賽．現已比賽了4場，且甲籃球隊勝3場，已知甲球隊第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）求甲對以4：3獲勝的概率；
（2）設X表示決出冠軍時比賽的場數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）設甲隊以4：3獲勝的事件為B，甲隊第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$，由此能求出甲對以4：3獲勝的概率．
（2）隨機變量X的可能取值為5，6，7，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．

解答 解：（1）設甲隊以4：3獲勝的事件為B，
∵甲隊第5，6場獲勝的概率均為$\frac{3}{5}$，第7場獲勝的概率為$\frac{2}{5}$，
∴甲對以4：3獲勝的概率P（B）=（1-$\frac{3}{5}$）²$•\frac{2}{5}$=$\frac{8}{125}$，
∴甲隊以4：3獲勝的概率為$\frac{8}{125}$．…（5分）
（2）隨機變量X的可能取值為5，6，7…（6分）
P（X+5）=$\frac{3}{5}$，…（7分）
P（X=6）=（1-$\frac{3}{5}$）$•\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$，…（8分）
P（X=7）=（1-$\frac{3}{5}$）²$•\frac{2}{5}+（1-\frac{2}{5}）^{2}•（1-\frac{2}{5}）=\frac{4}{25}$，…（9分）
∴隨機變量X的分布列為：

X	5	6	7
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{4}{25}$

…（12分）
E（X）=$5×\frac{3}{5}+6×\frac{6}{25}+7×\frac{4}{25}$=$\frac{139}{25}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．