Question

19．如圖所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥PC，垂足為F．
（1）求證：PC⊥EF；
（2）若PA=2，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，求點E到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥平面PAB，從而AE⊥平面PBC，進而PC⊥平面AEF，由此能證明PC⊥EF．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點E到平面PAC的距離．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF，∴PC⊥EF．
解：（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，
過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
P（$\sqrt{3}$，0，2），A（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），B（0，0，0），
設E（a，b，c），$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BP}$，則（a，b，c）=（$\sqrt{3}λ，0，2λ$），
∴a=$\sqrt{3}λ$，b=0，c=2λ），E（$\sqrt{3}λ，0，2λ$），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}λ-\sqrt{3}$，0，2λ），$\overrightarrow{PB}$=（-$\sqrt{3}，0，-2$），
∵AE⊥PB，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PB}$=-3λ+3-4λ=0，解得$λ=\frac{3}{7}$，
∴E（$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，0，$\frac{6}{7}$），
$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，0，$\frac{6}{7}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
設平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，0$），
∴點E到平面PAC的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{4\sqrt{3}}{7}|}{2}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{7}$．
∴點E到平面PAC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．