Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，且b=c，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，C（m，0）是線(xiàn)段OF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使得AC|=|BC|，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=c，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓方程．
（2）由（1）得F（2，0），0≤m≤2，設(shè)l的方程為y=k（x-2），代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線(xiàn)垂直，結(jié)合已知條件能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，且b=c，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2\sqrt{3}}\\{^{2}+{c}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{c=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由（1）得F（2，0），∴0≤m≤2，
假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k，
則l的方程為y=k（x-2），代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$），
∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB，∴k_CM•k_AB=-1，
∴$\frac{\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}}{\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-m}$•k=-1，化簡(jiǎn)，得${k}^{2}=\frac{m}{2（1-m）}$，
當(dāng)0≤m＜1時(shí)，k=$±\sqrt{\frac{m}{2-2m}}$，即存在這樣的直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，
當(dāng)l≤m≤2時(shí)，k不存在，即不存在這樣的直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線(xiàn)垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．