Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、DC的中點．

(1)求AE與D₁F所成的角．

(2)證明AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

答案：
解析：

解：設已知正方體的棱長為1，以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D－xyz．則： 　　(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，，0)，D1(0，0，1)， 　　∴＝(0，1，)，＝(0，，－1)． 　　∴·D1F＝(0，1，)·(0，，－1)＝0． 　　∴⊥，即AE與D1F所成的角為90°． 　　(2)又＝(1，0，0)＝， 　　且·＝(1，0，0)·(0，1，)＝0， 　　∴AE⊥D1A1． 　　由(1)知AE⊥D1F且D1A1∩D1F＝D1， 　　∴AE⊥平面A1D1F．

提示：

立體幾何中有關判斷線線垂直、異面直線所成角的大小問題，通常可以轉化為求向量的數量積和求向量的夾角得到．如果幾何體中存在過同一點的三條直線兩兩互相垂直，則可通過建立空間直角坐標系求解．