Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，由此能求出an=(

1

4

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）由b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）=3log 

1

2

（

1

4

）ⁿ=6n，得b_n=6n-2，由此能證明數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公差為6的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由c_n=a_n•b_n=（

1

4

）ⁿ•（6n-2），利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

4

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）證明：∵b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）=3log 

1

2

（

1

4

）ⁿ=6n，
∴b_n=6n-2，
∴b₁=4，n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=6，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公差為6的等差數(shù)列．
（Ⅲ）解：c_n=a_n•b_n=（

1

4

）ⁿ•（6n-2），
∴Sn=4×

1

4

+10×(

1

4

)2+16×(

1

4

)3+…+(6n-2)×(

1

4

)n，①

1

4

Sn=4×(

1

4

)2+10×(

1

4

)3+16×(

1

4

)4+…+（6n-2）×(

1

4

)n+1，②
①-②，得：

3

4

Sn=1+6[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+(

1

4

)n]-（6n-2）×(

1

4

)n+1
=1+6×

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-（6n-2）×(

1

4

)n+1
=3-

2

4n-1

-（6n-2）×(

1

4

)n+1，
∴S_n=4-

2

3

•

1

4n-2

-

6n-2

3

•

1

4n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．