Question

三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長都為a的三棱錐的四個頂點(diǎn)全部在同一個球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A、

  3

  2

  πa2
• B、3πa²
• C、6πa²
• D、

  16

  3

  πa2

Answer 1

分析：利用三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，構(gòu)造邊長為a的正方體，則正方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，
∴構(gòu)造邊長為a的正方體，
則正方體的體對角線為外接球的直徑，
設(shè)球半徑為r，
則正方體的體對角線長為

3

a=2r，
即三棱錐外接球的半徑r=

3 a

2

，
∴三棱錐外接球的表面積為4πr²=4π×(

3 a

2

)2=3πa²．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查球的表面積公式的計(jì)算，根據(jù)正三棱錐的側(cè)棱關(guān)系構(gòu)造正方體，根據(jù)正方體的體對角線和球直徑之間的關(guān)系求出球半徑是解決本題的關(guān)鍵．