Question

19．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x，若方程|f（x）|²+t|f（x）|+1=0有12個不同的根，則實數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{10}{3}$，-2）
• B． （-∞，-2）
• C． -$\frac{34}{15}$＜t＜-2
• D． （-1，2）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用換元法設|f（x）|=m，轉化為一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x，f'（x）={x^2}+2x-3=0$，
得x=-3，x=1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-3，即函數(shù)在（-∞，-3），（1，+∞）單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-3＜x＜1，則函數(shù)在（-3，1）單調(diào)遞減，
則函數(shù)的極大值為f（-3）=9，函數(shù)的極小值為$f（1）=-\frac{5}{3}$，
根據(jù)函數(shù)的圖象可知，
設|f（x）|=m，可知m²+tm+1=0，原方程有12個不同的根，
則m²+tm+1=0方程應在$（0，\frac{5}{3}）$內(nèi)有兩個不同的根，
設h（m）=m²+tm+1，
則$\left\{{\begin{array}{l}{h（\frac{5}{3}）＞0}\\{0＜-\frac{t}{2}＜\frac{5}{3}}\\{△={t^2}-4＞0}\end{array}}\right.⇒-\frac{34}{15}＜t＜-2$，
所以取值的范圍$-\frac{34}{15}＜t＜-2$．
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的極值和單調(diào)性，以及利用換元法轉化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．