Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若?x∈R，不等式f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，解出值域即可；
（2）求出f（x）的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2-x-（5-x）=-3，
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3），
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x-2-（x-5）=3．
綜上函數(shù)f（x）的值域[-3，3]．
（2）函數(shù)f（x）的最小值是-3，
若?x∈R，使得f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，
即有f（x）_min≥t²-$\frac{7}{2}$t，
即有t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解得：$\frac{3}{2}$≤t≤2，
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．