Question

2．設f（x）是定義在R上的偶函數，對x∈R都有f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5個不同的實數根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，$\root{3}{12}$）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （2，$\root{3}{10}$）

Answer 1

分析 由f（x）=-f（x+2），推出函數的周期是4，根據函數f（x）是偶函數，得到函數f（x）在一個周期內的圖象，利用方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數的交點個數問題，利用數形結合確定滿足的條件即可得到結論．

解答 解：由f（x-2）=f（x+2），得f（x+4）=f（x），即函數f（x）的周期為4，
∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]
則f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$，
∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數f（x）的圖象如圖：如0＜a＜1，函數g（x）=log_a（x+2）單調遞減，此時只有1個交點，不滿足條件，（虛線圖象）．
當a＞1時，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5個不同的實數根，
則等價為函數f（x）與g（x）=log_a（x+2）有5個不同的交點，
則滿足A（6，3）在g（x）的上方，B（10，3）在g（x）的下方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（6）=lo{g}_{a}8＜3}\\{g（10）=lo{g}_{a}12＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}＞8}\\{{a}^{3}＜12}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜\root{3}{12}}\end{array}\right.$，解得，2＜a＜$\root{3}{12}$
故a的取值范圍是（2，$\root{3}{12}$），
故選：B．

點評 本題主要考查函數零點的個數判斷，利用函數和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點個數問題，利用分段函數的表達式，作出函數f（x）的圖象是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．