Question

3．已知點A，B，C均在球O的表面上，∠BAC=$\frac{2π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，球O到平面ABC的距離為3，則球O的表面積為100π．

Answer 1

分析 運用正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2r，再由球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構成直角三角形，即可求得球的半徑，再由球的表面積公式計算即可得到．

解答 解：由于∠BAC=$\frac{2π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，
則△ABC的外接圓的直徑2r=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，
即有r=4，
由于球心O到平面ABC的距離為3，
則由勾股定理可得，球的半徑R=5，
即有此球O的表面積為S=4πR²=4π×25=100π．
故答案為100π．

點評 本題考查球的表面積的求法，主要考查球的截面的性質：球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構成直角三角形，同時考查正弦定理的運用：求三角形的外接圓的直徑，屬于中檔題．