Question

20．政府鼓勵(lì)創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè)，銀行給予低息貸款．一位大學(xué)畢業(yè)生向自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)研、測算，有兩個(gè)方案可供選擇．
方案1：開設(shè)一個(gè)科技小微企業(yè)，需要一次性貸款40萬元，第一年獲利是貸款額的10%，以后每年比上一年增加25%的利潤．
方案2：開設(shè)一家食品小店，需要一次性貸款20萬元，第一年獲利是貸款額的15%，以后每年比上一年增加利潤1.5萬元．兩種方案使用期限都是10年，到期一次性還本付息．兩種方案均按年息2%的復(fù)利計(jì)算（參考數(shù)據(jù)：1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.3，1.02⁹=1.20，1.02¹⁰=1.22）．
（1）10年后，方案1，方案2的總收入分別有多少萬元？
（2）10年后，哪一種方案的利潤較大？

Answer 1

分析 （1）方案1是等比數(shù)列，方案2是等差數(shù)列，利用求和公式，可得結(jié)論；
（2）計(jì)算銀行貸款本息，可得純利，即可得出哪一種方案的利潤較大．

解答 解：（1）方案1是等比數(shù)列，方案2是等差數(shù)列，
①方案1，一次性貸款40萬元，第一年獲利是貸款額的10%，即4萬元
獲利：4[1+（1+25%）+（1+25%）²+…+（1+25%）⁹]=4×$\frac{1.2{5}^{10}-1}{0.25}$=132.8（萬元），
銀行貸款本息：40（1+2%）¹⁰≈48.8（萬元），
方案2，一次性貸款20萬元，第一年獲利是貸款額的15%，即3萬元
獲利：3+（3+1.5）+（3+2×1.5）+…+（3+9×1.5）
=10×3+$\frac{10×9}{2}×1.5$=97.50（萬元）；
（2）方案1，銀行貸款本息：40（1+2%）¹⁰≈12.2（萬元），
故方案1純利：132.8-48.8=84（萬元）．
方案2，銀行貸款本息：20（1+2%）¹⁰≈24.4（萬元），
故方案2純利：97.50-24.4=73.1（萬元）．
∴方案1的利潤較大．

點(diǎn)評(píng) 這是一道比較常見的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．