Question

17．命題p：“|a|+|b|≤1”；命題q：“對任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，則p是q的充分不必要條件（從“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”中選一個合適的填上去）．

Answer 1

分析 a=b=0時，不等式asinx+bcosx≤1恒成立．a(chǎn)與b不全為0時，不等式asinx+bcosx≤1化為：sin（x+θ）≤$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，由于對任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，可得$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≥1，化簡即可判斷出結(jié)論

解答 解：a=b=0時，不等式asinx+bcosx≤1恒成立
a與b不全為0時，不等式asinx+bcosx≤1化為：sin（x+θ）≤$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∵對任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≥1，
∴a²+b²≤1，畫出圖象：可知：（a，b）表示的是以原點為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部．
而|a|+|b|≤1可知：（a，b）表示的是正方形ABCD及其內(nèi)部．
∴p是q的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要．

點評 本題考查了三角函數(shù)求值、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．