Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁=1，S₂=-$\frac{3}{2}$，且S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），對n分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），
∴考慮偶數(shù)2n時，S_2n-S_2n-2=3×$（-\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
∴S_2n=（S_2n-S_2n-2）+（S_2n-2-S_2n-4）+…+（S₄-S₂）+S₂
=S₂-3$[（\frac{1}{2}）^{2n-1}$+$（\frac{1}{2}）^{2n-3}$+…+$（\frac{1}{2}）^{3}]$
=-3×$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{4}^{n}}]}{1-\frac{1}{4}}$=-2$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$=-2+$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
同理可得：奇數(shù)項(xiàng)S_2n+1-S_2n-1=3×$（-\frac{1}{2}）^{2n}$=3×$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
∴S_2n+1=（S_2n+1-S_2n-1）+（S_2n-1-S_2n-3）+…+（S₃-S₁）+S₁
=1+3$[（\frac{1}{2}）^{2n}+$$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{2}]$
=1+3×$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
∴a_2n+1=S_2n+1-S_2n=2-$（\frac{1}{2}）^{2n}$-$[-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}]$=4-3×$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
a_2n=S_2n-S_2n-1=-2+$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$-$[2-（\frac{1}{2}）^{2n-2}]$=-4+3×$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
a₁=S₁=1．
綜上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．