Question

12．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的離心率，得到雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$的解析式，把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$=0，即可證明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

解答 解：（1）∵雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$a，
則c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，則a=b，
即雙曲線是等軸雙曲線，
∴設(shè)所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$）在雙曲線上
知λ=4²-（-$\sqrt{10}$）²=6
∴雙曲線方程為x²-y²=6
（Ⅱ）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上
則3²-m²=6∴m²=3
由雙曲線x²-y²=6知F₁（2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（-2$\sqrt{3}$，0）
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=（2\sqrt{3}-3，-m）•（-2\sqrt{3}-3，-m）={m}^{2}-{（2\sqrt{3}）}^{2}+9=0$
∴$\overrightarrow{M{F_1}}⊥\overrightarrow{M{F_2}}$，
故點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上．
（Ⅲ）△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×2|CM|=|CM|=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用．根據(jù)條件確定雙曲線是等軸雙曲線以及利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．．