Question

12．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，bcosC=3acosB-ccosB．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若△ABC的面積是$2\sqrt{2}$，且$b=2\sqrt{2}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得sinA=3sinAcosB，結(jié)合sinA≠0，可求cosB的值．
（Ⅱ）由三角形面積公式可求ac=6，利用余弦定理可求a²+c²=12，聯(lián)立即可解得a，c的值．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，…（2分）
所以sin（B+C）=3sinAcosB，
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．
所以sinA=3sinAcosB，
因?yàn)閟inA≠0，
所以cosB=$\frac{1}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}acsinB=2\sqrt{2}$，
由（Ⅰ）知cosB=$\frac{1}{3}$，可得：$sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以ac=6，…（8分）
又因?yàn)閎²=a²+c²-2accosB，即8=a²+c²-4，
所以a²+c²=12，②，
由①②式解得a=c=$\sqrt{6}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．