Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，點F₁，F(xiàn)₂是橢圓E的左、右焦點，過定點Q（0，2）的動直線l與橢圓E交于A，B兩點，當(dāng)F₁，A，B共線時，△F₂AB的周長為8．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)弦AB的中點為D，點E（0，t）在y軸上，且滿足DE⊥AB，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a，b；
（2）設(shè)直線AB方程為y=kx+2，根據(jù)直線與橢圓有兩個交點得出t的范圍，設(shè)A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，表示出D點坐標(biāo)，令$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{AB}$=0，得出t關(guān)于k的函數(shù)，即可求出t的范圍．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{4a=8}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l即為y軸，此時y軸上不存在點E使得DE⊥AB．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
消去y，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△=（16k）²-16（3+4k²）＞0得|k|$＞\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$．x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}+2$，
∴$\overrightarrow{ED}$=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}+2$-t），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，k（x₂-x₁）），
∵DE⊥AB，∴$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$•（x₂-x₁）+（$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}+2$-t）（k（x₂-x₁））=0，
展開化簡得（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2kt=0，
將x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$代入上式，得t=-$\frac{2}{4{k}^{2}+3}$，
又|k|$＞\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜t＜0．
綜上所述，t的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．