4.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.
(1)若2AB=$\sqrt{3}$F1F2,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C相切,求直線l的方程.

分析 (1)由已知得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合隱含條件即可求得橢圓的離心率;
(2)由(1)可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$,設(shè)P(x0,y0),由題意得$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$,再由P在橢圓上把P的坐標(biāo)用含有c的代數(shù)式表示,求出圓心坐標(biāo),設(shè)出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O與圓C相切的直線l的方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求得k,則直線方程可求.

解答 解:(1)由2AB=$\sqrt{3}$F1F2,得$2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{3}•2c$,∴a2+b2=3c2,
則a2+(a2-c2)=3c2,整理得a2=2c2,∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$,即e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)由(1)知,a2=2c2,b2=c2,
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$.
設(shè)P(x0,y0),由題意得,$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$,
又F1(-c,0),B(0,c),∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}=({x}_{0}+c,{y}_{0})$,$\overrightarrow{{F}_{1}B}=(c,c)$,
∴(x0+c)c+y0c=0,
又c>0,∴x0+y0+c=0,①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}=1$,②
由①②,得$3{{x}_{0}}^{2}+4c{x}_{0}=0$,得${x}_{0}=-\frac{4}{3}c$,則${y}_{0}=\frac{c}{3}$.
∴P($-\frac{4}{3}c,\frac{c}{3}$),從而可得圓心C($-\frac{2}{3}c,\frac{2}{3}c$),
∴半徑r=|CF1|=$\sqrt{(-\frac{2}{3}c+c)^{2}+(\frac{2c}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$,
設(shè)直線l的方程為y=kx,則
d=$\frac{|-\frac{2}{3}c•k-\frac{2c}{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$,即k2-8k+1=0.
解得k=4$±\sqrt{15}$.
∴直線l的方程為y=($4±\sqrt{15}$)x.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題.

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(Ⅱ)該城市個(gè)人家庭用車的月汽油消費(fèi)超過(guò)940元的人數(shù)所占的百分比;
(Ⅲ)如果該城市個(gè)人家庭用車的人數(shù)是10萬(wàn)人,市政府想利用經(jīng)濟(jì)手段控制汽油消耗,制定了下列專項(xiàng)稅收如表:
個(gè)人家庭用車消費(fèi)汽油費(fèi)≤880元/月880~920元/月920~940元/月≥940元/月
稅 率不納稅0.010.020.05
請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)明該城市在此稅收上設(shè)計(jì)是否合理.

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