Question

13．已知A（-2，0）、B（2，0），P（2，4），動(dòng)點(diǎn)滿足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，M的軌跡為曲線C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）過P作曲線C的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M的坐標(biāo)，求得$\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，整理得答案；
（2）分斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，寫出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑，求得k值得答案．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），又A（-2，0）、B（2，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（-2-x，-y），\overrightarrow{MB}=（2-x，-y）$，
由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，得（-2-x）（2-x）+y²=0，即x²+y²=4．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=4；
（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓x²+y²=4．
當(dāng)過P（2，4）的圓的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=2；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則切線方程為y-4=k（x-2），
即kx-y-2k+4=0．
由$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴切線方程為3x-4y+10=0．
綜上，所求圓的切線方程為x=2或3x-4y+10=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．