Question

3．已知函數f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+x-$\frac{1}{3}$
（1）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y+b=0，求實數a，b的值；
（2）求f（x）的單調減區(qū)間，并求函數f（x）的極值；
（3）若g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$+mx是奇函數，且函數g（x）在x=-1時取得極值，求m的值．
（4）在條件（3）下，若方程g（x）+k=0在區(qū)間[-3，3]上有一解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數，利用函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y+b=0，即可求實數a，b的值；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值；
（3）根據函數的奇偶性，求出a的值，根據g′（-1）=0，求出m的值即可；
（4）求出g（x）的單調區(qū)間，函數g（x）的圖象，結合圖象求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），
由f′（2）=9，得a=5，
∴f（x）=$\frac{5}{3}$x³-3x²+x-$\frac{1}{3}$，
∴f（2）=3，
∴（2，3）在直線9x-y+b=0上，
∴b=-15；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
①a=0時，f′（x）=1-x，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（1，+∞）遞減，f（x）_^極大值=f（1）=$\frac{1}{3}$，
②0＜a＜1時，$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_極小值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$，
③a=1時，f′（x）≥0，f（x）遞增，無極值，
④a＞1時，$\frac{1}{a}$＜1，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，1）遞減，
f（x）_極小值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_極大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$，
⑤a＜0時，$\frac{1}{a}$＜1，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，1）遞減，
f（x）_極小值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_極大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$；
（3）g（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+（m+1）x，
g（-x）=-$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-（m+1）x，g（x）是奇函數，
∴a+1=0，解得：a=-1，
∴g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+（m+1）x，g′（x）=-x²+（m+1），
g′（-1）=-1+m+1=0，解得：m=0；
（4）在條件（3）下，g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
g′（x）=-x²+1，令g′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴g（x）在[-3，-1）遞減，在（-1，1）遞增，在（1，3]遞減，
而g（-3）=6，g（-1）=-$\frac{2}{3}$，g（1）=$\frac{2}{3}$，g（3）=-6，
函數函數g（x）的圖象，如圖示：
，
結合圖象，$\frac{2}{3}$＜k≤6或-6≤k＜-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、數形結合思想，是一道綜合題．