Question

1．設集合S={x|x=$\frac{1}{k}$，k∈N^*}．
（1）請寫出S的一個4元素，使得子集中的4個元素恰好構(gòu)成等差數(shù)列；
（2）若無窮遞減等比數(shù)列{a_n}中的每一項都在S中，且公比為q，求證：q∈（0，$\frac{1}{2}$）；
（3）設正整數(shù)n＞1，若S的n元子集A滿足：對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{1}{64}$，求證：n≤15．

Answer 1

分析 （1）由題設，一個4元素恰好構(gòu)成等差數(shù)列；4個元素通分后具有分母相同，分子成等差關系的特點．
（2）由題設，公比為q，q是有理數(shù)，設$q=\frac{a}$，（a，b互質(zhì)），構(gòu)造無窮遞減等比數(shù)列證明．
（3）在（0，$\frac{1}{8}$）∪S中，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{1}{64}$，滿足條件有7個數(shù)．在（$\frac{1}{8}$，1）∪S中，最多有1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，…$\frac{1}{8}$，滿足條件有8個數(shù)，即可得到答案．

解答 解：（1）S的一個4元素恰好構(gòu)成等差數(shù)列，S={$\frac{1}{3}，\frac{1}{4}，\frac{1}{6}，\frac{1}{12}$}
（2）由題意，數(shù)列{a_n}是無窮遞減等比數(shù)列，q是有理數(shù)，設$q=\frac{a}$，（a，b互質(zhì)），
∴$a•（\frac{a}）^{k}$為S中的數(shù)（k∈N^*），則b必為1；
∴$q=\frac{1}{a}$，（a∈N⁺），
∴q∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（3）證明：在（0，$\frac{1}{8}$）∪S中，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{1}{64}$，
∴在（0，$\frac{1}{8}$）∪S中的元素個數(shù)不超過$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{64}}=8$．最多有7個數(shù)．
在（$\frac{1}{8}$，1）∪S中，滿足條件有1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，…$\frac{1}{8}$，最多8個數(shù)，
∴7+8≤15，即n≤15．得證．

點評 本題考查數(shù)列知識的綜合運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，難度大．