【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù);
(2)當(dāng)時,不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分和兩種情況討論,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的極值即可;
(2)當(dāng)時,由題即在上恒成立,令且,對分和兩種情況討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果.求解的取值范圍.
(1),.
①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,無極值;
②當(dāng)時,令,得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
此時,函數(shù)只有一個極值點.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在上無極值點;
當(dāng)時,函數(shù)在上只有一個極值點;
(2)當(dāng)時,由題即在上恒成立,
令且,
則,
令,
則且.
(ⅰ)當(dāng)時,即時,
由于,,而,
所以,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,
即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,
即在上恒成立,故符合題意;
(ⅱ)當(dāng)時,即時,
由于在上單調(diào)遞增,
令,因為,
故在上存在唯一的,使,
因此,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,所以,
即,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,與題意不符.
綜上所述,的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為等邊三角形,邊長為2,為等腰直角三角形,,,,平面平面ABCD.
(1)證明:平面PAD;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(3)棱PD上是否存在一點E,使得平面PBC?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某居民區(qū)內(nèi)有一直角梯形區(qū)域,,,百米,百米.該區(qū)域內(nèi)原有道路,現(xiàn)新修一條直道(寬度忽略不計),點在道路上(異于,兩點),,.
(1)用表示直道的長度;
(2)計劃在區(qū)域內(nèi)修建健身廣場,在區(qū)域內(nèi)種植花草.已知修建健身廣場的成本為每平方百米4萬元,種植花草的成本為每平方百米2萬元,新建道路的成本為每百米4萬元,求以上三項費用總和的最小值(單位:萬元).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(0,4),拋物線C:x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為1,點P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,則拋物線方程為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定點,,動點P為平面上一個動點,且直線SP,TP的斜率之積為.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)點B為軌跡E與y軸正半軸的交點,是否存在斜率為直線l,使得l交軌跡E于M,N兩點,且恰是的重心?若存在,求l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:,過點且互相垂直的兩條動直線,與拋物線C分別交于P,Q和M,N.
(1)求四邊形面積的取值范圍;
(2)記線段和的中點分別為E,F,求證:直線恒過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差為,前n項和為,且滿足____________.(從①);②成等比數(shù)列;③,這三個條件中任選兩個補充到題干中的橫線位置,并根據(jù)你的選擇解決問題)
(I)求;
(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校名學(xué)生參加軍事冬令營活動,活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲,角色按級別從小到大共種,分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式,可以人一組或者人一組.如果人一組,則必須角色相同;如果人一組,則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,現(xiàn)在新加入名學(xué)生,將這名學(xué)生分成組進行游戲,則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.
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