【題目】已知拋物線C:,過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條動(dòng)直線,與拋物線C分別交于P,Q和M,N.
(1)求四邊形面積的取值范圍;
(2)記線段和的中點(diǎn)分別為E,F,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)設(shè)直線:,:,聯(lián)立直線與拋物線的方程,由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,,同理,,利用,即可求出四邊形面積的取值范圍;
(2)由(1)知,可求出,由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo),同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出,利用點(diǎn)斜式表示出直線的方程,化簡(jiǎn)后即可證明直線恒過(guò)定點(diǎn).
(1)由題意可知兩直線,的斜率一定存在,且不等于0.
設(shè):(),,,
則:().
因?yàn)槁?lián)立直線與拋物線的方程,有,
其中,由韋達(dá)定理,有.
由上可得,
同理,
則四邊形面積.
令.則.
所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),S取得最小值12,
且當(dāng)時(shí),.
故四邊形面積的范圍是.
(2)由(1)知,,則,
所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為.
于是,直線的斜率為,
則直線的方程為:,
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某玩具廠擬定生產(chǎn)兩款新毛絨玩具樣品,一款為毛絨小豬,另一款為毛絨小狗.由設(shè)計(jì)圖知,生產(chǎn)這兩款毛絨玩具均需相同材質(zhì)的填充物、長(zhǎng)毛絨、天鵝絨,且每個(gè)毛絨小豬需填充物、長(zhǎng)毛絨、天鵝絨,每個(gè)毛絨小狗需填充物、長(zhǎng)毛絨、天鵝絨.現(xiàn)有所需填充物、長(zhǎng)毛絨、天鵝絨,若每個(gè)毛絨小豬與毛絨小狗的出廠價(jià)分別為64元、36元,則生這批毛絨玩具的最大銷(xiāo)售額為_______元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海南盛產(chǎn)各種名貴樹(shù)木,如紫檀、黃花梨等.在實(shí)際測(cè)量單根原木材體積時(shí),可以檢量木材的實(shí)際長(zhǎng)度(檢尺長(zhǎng))和小頭直徑(檢尺徑),再通過(guò)國(guó)家公布的原木材積表直接查詢得到,原木材積表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下所示:
檢尺徑 () | 檢尺長(zhǎng)() | ||||
2.0 | 2.2 | 2.4 | 2.5 | 2.6 | |
材積() | |||||
8 | 0.0130 | 0.0150 | 0.0160 | 0.0170 | 0.0180 |
10 | 0.0190 | 0.0220 | 0.0240 | 0.0250 | 0.0260 |
12 | 0.0270 | 0.0300 | 0.0330 | 0.0350 | 0.0370 |
14 | 0.0360 | 0.0400 | 0.0450 | 0.0470 | 0.0490 |
16 | 0.0470 | 0.0520 | 0.0580 | 0.0600 | 0.0630 |
18 | 0.0590 | 0.0650 | 0.0720 | 0.0760 | 0.0790 |
20 | 0.0720 | 0.0800 | 0.0880 | 0.0920 | 0.0970 |
22 | 0.0860 | 0.0960 | 0.1060 | 0.1110 | 0.1160 |
24 | 0.1020 | 0.1140 | 0.1250 | 0.1310 | 0.1370 |
若小李購(gòu)買(mǎi)了兩根紫檀原木,一根檢尺長(zhǎng)為,檢尺徑為,另一根檢尺長(zhǎng)為,檢尺徑為,根據(jù)上表,可知兩根原木的材積之和為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線E的極坐標(biāo)方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).點(diǎn)P為曲線E上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為線段OP的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)Q的軌跡(曲線C)的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)恰好為線段AB的三等分點(diǎn),求直線l的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)的極值點(diǎn).設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù),在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4,問(wèn);這樣的平行切線共有幾組?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差為,前n項(xiàng)和為,且滿足____________.(從①);②成等比數(shù)列;③,這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到題干中的橫線位置,并根據(jù)你的選擇解決問(wèn)題)
(I)求;
(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,A為C的上頂點(diǎn),過(guò)A的直線l與C交于另一點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)D,O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若,求l的方程;
(2)已知P為AB的中點(diǎn),y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得?若存在,求Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(2)若,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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