【題目】已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條動(dòng)直線，與拋物線C分別交于P，Q和M，N.

（1）求四邊形面積的取值范圍；

（2）記線段和的中點(diǎn)分別為E，F，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)直線：，：，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，，同理，，利用，即可求出四邊形面積的取值范圍；

（2）由（1）知，可求出，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，利用點(diǎn)斜式表示出直線的方程，化簡(jiǎn)后即可證明直線恒過(guò)定點(diǎn).

（1）由題意可知兩直線，的斜率一定存在，且不等于0.

設(shè)：（），，，

則：（）.

因?yàn)槁?lián)立直線與拋物線的方程，有，

其中，由韋達(dá)定理，有.

由上可得，

同理，

則四邊形面積.

令.則.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S取得最小值12，

且當(dāng)時(shí)，.

故四邊形面積的范圍是.

（2）由（1）知，，則，

所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

于是，直線的斜率為，

則直線的方程為：，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

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檢尺徑

（）

檢尺長(zhǎng)（）

2.0

2.2

2.4

2.5

2.6

材積（）

8

0.0130

0.0150

0.0160

0.0170

0.0180

10

0.0190

0.0220

0.0240

0.0250

0.0260

12

0.0270

0.0300

0.0330

0.0350

0.0370

14

0.0360

0.0400

0.0450

0.0470

0.0490

16

0.0470

0.0520

0.0580

0.0600

0.0630

18

0.0590

0.0650

0.0720

0.0760

0.0790

20

0.0720

0.0800

0.0880

0.0920

0.0970

22

0.0860

0.0960

0.1060

0.1110

0.1160

24

0.1020

0.1140

0.1250

0.1310

0.1370

若小李購(gòu)買(mǎi)了兩根紫檀原木，一根檢尺長(zhǎng)為，檢尺徑為，另一根檢尺長(zhǎng)為，檢尺徑為，根據(jù)上表，可知兩根原木的材積之和為______.

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（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問(wèn)；這樣的平行切線共有幾組？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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