Question

12．設命題p：函數f（x）=lg（-mx²+2x-m）的定義域為R；
命題q：函數g（x）=4lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-（m-1）x的圖象上任意一點處的切線斜率恒大于2，
若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p∧q為假，p∨q為真，命題p，q一真一假，進而可得滿足條件的m的取值范圍．

解答 （本小題滿分10分）
解：若p為真命題，則-mx²+2x-m＞0恒成立，即mx²-2x+m＜0恒成立．…（1分）
當m=0時，不等式為-2x＜0，解得x＞0，顯然不成立；
當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={（-2）^2}-4m×m＜0\end{array}\right.$，解得m＜-1．
∴若p為真命題，則m＜-1．…（4分）
若q為真命題，則當x＞-1時，$g'（x）=\frac{4}{x}+x-m+1＞2$，$m＜\frac{4}{x}+x-1$，
∵$\frac{4}{x}+x-1≥2\sqrt{4}-1=3$，當且僅當x=1時取等號，∴m＜3．…（6分）
∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴p真q假或p假q真．…（8分）
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}m＜-1\\ m≥3\end{array}\right.$，∴m∈∅；若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}m≥-1\\ m＜3\end{array}\right.$，∴-1≤m＜3．
綜上所述，實數m得取值范圍為m∈[-1，3）．…（10分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，對數函數的圖象和性質，直線斜率等知識點，難度中檔．