Question

20．證明下列不等式：
（1）設(shè)a，b，c∈R^*，且滿足條件a+b+c=1，證明：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$≥9
（2）已知a≥0，證明：$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$＜$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$．

Answer 1

分析 （1）依題意，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}+\frac{c}$），利用基本不等式即可證得結(jié)論；
（2）利用分析法證明即可．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}+\frac{c}$）≥3+2+2+2=9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”）（證畢）．
（2）要證明$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$＜$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$，
只要證明（$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$）²＜（$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$）²，
只要證明a（a+3）＜（a+2）（a+1），
只要證明0＜2，顯然成立，
故原不等式成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，著重考查分析法、基本不等式的應(yīng)用，注意等號(hào)成立的條件，考查推理論證能力，屬于中檔題．