Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=3-$\frac{1}{2}$a_n，b_n是a_n與a_n+1的等差中項，則數(shù)列{b_n}的通項公式為（　　）

• A． 4×3ⁿ
• B． 4×（$\frac{1}{3}$）ⁿ
• C． $\frac{1}{3}$×（$\frac{4}{3}$）^n-1
• D． $\frac{1}{3}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得b_n．

解答 解：∵S_n=3-$\frac{1}{2}$a_n，
∴a₁=S₁=3-$\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3-$\frac{1}{2}$a_n-$（3-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，化為：a_n=$\frac{1}{3}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$2×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∵b_n是a_n與a_n+1的等差中項，
∴b_n=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+1）=$\frac{1}{2}[2×（\frac{1}{3}）^{n-1}+2×（\frac{1}{3}）^{n}]$=$4×（\frac{1}{3}）^{n}$．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．