Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若|f（x）|+a≥ax，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，0]
• B． [-2，1]
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 由題意可得|f（x）|≥a（x-1），作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=a（x-1），直線恒過定點（1，0），討論a=0，a＜0時，直線與拋物線相切的條件：判別式為0，解方程可得a=-2，通過圖象即可得到所求范圍．

解答 解：|f（x）|+a≥ax即為|f（x）|≥a（x-1），
作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=a（x-1），
直線恒過定點（1，0），
當a=0時，直線為y=0，即有y=|f（x）|的圖象恒在直線的上方；
當a＜0，且直線和y=|f（x）|的圖象相切時，
由y=a（x-1）和y=x²-4x+3（x＜1），聯(lián)立，可得
x²-（4+a）x+3+a=0，由△=0，即（4+a）²-4（3+a）=0，
解得a=-2．
由圖象即可得到-2≤a＜0．
綜上可得a的范圍是[-2，0]．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查數(shù)形結合的思想方法，同時考查直線和拋物線相切的條件：判別式為0，以及運算能力，屬于中檔題．