如圖,一船由西向東航行,測(cè)得某島M的方位角為α,前進(jìn)5km后,測(cè)得此島的方位角為β,已知該島周?chē)?km內(nèi)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,
(1)若α=60°,β=45°,問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?
(2)當(dāng)α,β滿足什么條件時(shí),該船有觸礁的危險(xiǎn)?
分析:(1)確定∠AMC、∠BMC,利用AB=5,求出MC與3比較,即可得到結(jié)論;
(2)求出AC、BC可得MC,當(dāng)且僅當(dāng)MC≤3時(shí),該船有觸礁危險(xiǎn).
解答:解:(1)∵α=60°,β=45°,∴在Rt△MCA,∠AMC=60°,Rt△MCB中,∠BMC=45°,
∵AB=5,∴
3
MC-MC=5

MC=
5
3
-1
=
5(
3
+1)
2
>3

∴該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).------------------(8分)
(2)在Rt△MCA,AC=tanα•MC,Rt△MCB中,BC=tanβ•MC
∴AB=AC-BC=tanα•MC-tanβ•MC=5,∴MC=
5
tanα-tanβ

∴當(dāng)
5
tanα-tanβ
≤3
時(shí),該船有觸礁危險(xiǎn).-------------------(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題軛能力,屬于基礎(chǔ)題.
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