Question

3．己知命題P：?x∈（2，3），x²+5＞ax是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$2\sqrt{5}$，+∞）
• B． [$\frac{9}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{14}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$2\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法和函數(shù)的單調(diào)性，求出命題P為真命題時(shí)的等價(jià)條件，由全稱命題與其否定真假之間的關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若“?x∈（2，3），x²+5＞ax恒成立，則a＜（x+$\frac{5}{x}$）_min，x∈（2，3）．
∵f（x）=x+$\frac{5}{x}$在（2，$\sqrt{5}$）上是減函數(shù)，（$\sqrt{5}$，3）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最小值是f（$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$，
則a＜2$\sqrt{5}$，
∵命題P：?x∈（2，3），x²+5＞ax是假命題，
∴a≥2$\sqrt{5}$，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2$\sqrt{5}$，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全稱命題與其否定之間真假關(guān)系的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)求解恒成立的問題，以及參數(shù)分離法，求出命題為真命題時(shí)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．