Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O為AD邊的中點，點M在線段PC上．
（1）證明：平面POB⊥平面PAD；
（2）若$AB=2\sqrt{3}，PA=\sqrt{7}，PB=\sqrt{13}$，PA∥平面MOB，求二面角M-OB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證明AD⊥PO，AD⊥BO，推出AD⊥平面POB，然后證明面POB⊥平面PAD．
（2）連接AC，交OB于點N，連接MN，證明以PA∥MN，以O為原點，直線OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面BOM的法向量，平面OBC的一個法向量，利用空間向量的數量積求解二面角M-OB-C的余弦值．

解答 證明：（1）連接BD，因為底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，…（1分）
因為O為AD邊的中點，PA=PD，
所以AD⊥PO，AD⊥BO，PO∩BO=O，

所以AD⊥平面POB，…（3分）
因為AD?平面PAD，
所以平面POB⊥平面PAD．  …（5分）

（2）解：連接AC，交OB于點N，連接MN，

因為PA∥平面MOB，所以PA∥MN，…（6分）
易知點N為ABD的重心，所以$AN=\frac{1}{3}AC$，
故$PM=\frac{1}{3}PC$，…（7分）
因為$AB=2\sqrt{3}$，$PA=PD=\sqrt{7}$，
所以OB=3，OP=2，因為$PB=\sqrt{13}$，
所以∠POB=90°，即OP⊥OB，
以O為原點，直線OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，則O（0，0，0），B（0，3，0），$C（-2\sqrt{3}，3，0）$，P（0，0，2），則$\overrightarrow{OB}=（0，3，0）$，$\overrightarrow{PC}=（-2\sqrt{3}，3，-2）$，

所以$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$=$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，1，\frac{4}{3}）$，…（9分）
設$\overrightarrow m=（x，y，z）$為平面BOM的法向量，由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{OM}$可求得$\overrightarrow m=（2，0，\sqrt{3}）$，
易知，$\overrightarrow n=（0，0，1）$為平面OBC的一個法向量，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
因為二面角M-OB-C為銳角，所以二面角M-OB-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，空間向量的應用，直線與平面平行于垂直的判斷，考查空間想象能力以及計算能力．