Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\sqrt{3}$個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的對稱軸及單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)求得φ和b的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得對稱軸，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，可得到函數(shù)的增區(qū)間．同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，可得到函數(shù)的減區(qū)間．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）-b，…（1分）
又∵$g（x）=sin[2（x-\frac{π}{6}）+φ]-b+\sqrt{3}$為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則$φ=\frac{π}{3}$，$b=\sqrt{3}$，…（3分）
故$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$；                                …（4分）
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
可得對稱軸：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，…（6分）
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得：x∈$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
可得：增區(qū)間為$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，可得：x∈$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
可得：減區(qū)間為$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]（k∈Z）$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調性，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．