Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+tanx（0＜x＜

π

2

）在x=

π

3

處的切線與直線9x-2y=0平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求證函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜

π

2

）的圖象始終在直線y=2x的上方．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=acosx+

1

cos2x

，由此能求出a=1．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，g′(x)=cosx+

1

cos2x

-2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜

π

2

）的圖象始終在直線y=2x的上方．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=asinx+tanx，0＜x＜

π

2

，
得f′(x)=acosx+

1

cos2x

，
由題意f′(

π

3

)=

9

2

，a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，
g′(x)=cosx+

1

cos2x

-2
=

cos3x-2cos2x+1

cos2x

=

(cosx-1)(cos2x-cosx-1)

cos2x

=

(cosx-1)[cosx(cosx-1)-1]

cos2x

，
∵0＜cosx＜1，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，

π

2

）上是增函數(shù)，∴g（x）＞g（0）=0，
∴sinx+tanx＞2x，
∴函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜

π

2

）的圖象始終在直線y=2x的上方．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜

π

2

）的圖象始終在直線y=2x的上方的證明，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．