Question

【題目】已知有限項的、正整數(shù)的遞增數(shù)列，并滿足如下條件：對任意不大于各項總和的正整數(shù)，總存在一個子列，使得該子列所有項的和恰好等于.這里的‘子列’是指由原數(shù)列中的一部分項（包括一項、所有項）組成的新數(shù)列.

（1）寫出，的值；

（2）“成等差數(shù)列”的充要條件是“各項總和恰好是其項數(shù)、項數(shù)平方值的等差中項”.為什么？請說明理由.

（3）若，寫出“項數(shù)最少時，中的最大項”的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）證明見解析；（3）當(dāng)取最小值時，的最大值為1010.

【解析】

（1）利用數(shù)列是正整數(shù)的遞增數(shù)列及題意可求；

（2）先利用等差數(shù)列求和公式證明必要性，再利用放縮法證明充分性；

（3）由題意可知，恒成立，由可得，由集合分類進(jìn)行驗證可得的最大值.

（1）因為，且是遞增的正整數(shù)數(shù)列，由題意可知.

（2）先證必要性：

因為，且成等差數(shù)列，所以，所以.

再證充分性：

因為是遞增的正整數(shù)數(shù)列，，所以，

所以，

又因為，所以（），

故是等差數(shù)列.

（3）先證明恒成立.

假設(shè)存在，且為最小的正整數(shù).

依題意，則，

又因為，故當(dāng)時，不能等于任何子列所有項的和.

故假設(shè)不成立，即恒成立.

因此，即，所以.

因為，則，

若時，則當(dāng)時，不能等于任何子列所有項的和.

故，即.

此時可構(gòu)造集合.

當(dāng)時，可以等于集合中若干個元素的和；

當(dāng)時，可以等于集合中若干個元素的和；

當(dāng)時，可以等于集合中若干個元素的和；

當(dāng)時，可以等于集合中若干個元素的和；

當(dāng)時，可以等于集合中若干個元素的和；

所以當(dāng)取最小值時，的最大值為1010.