【題目】已知有限項的、正整數(shù)的遞增數(shù)列,并滿足如下條件:對任意不大于各項總和的正整數(shù),總存在一個子列,使得該子列所有項的和恰好等于.這里的‘子列’是指由原數(shù)列中的一部分項(包括一項、所有項)組成的新數(shù)列.

1)寫出,的值;

2)“成等差數(shù)列”的充要條件是“各項總和恰好是其項數(shù)、項數(shù)平方值的等差中項”.為什么?請說明理由.

3)若,寫出“項數(shù)最少時,中的最大項”的值.

【答案】1;2)證明見解析;(3)當(dāng)取最小值時,的最大值為1010.

【解析】

1)利用數(shù)列是正整數(shù)的遞增數(shù)列及題意可求;

2)先利用等差數(shù)列求和公式證明必要性,再利用放縮法證明充分性;

3)由題意可知,恒成立,由可得,由集合分類進(jìn)行驗證可得的最大值.

1)因為,且是遞增的正整數(shù)數(shù)列,由題意可知.

2)先證必要性:

因為,且成等差數(shù)列,所以,所以.

再證充分性:

因為是遞增的正整數(shù)數(shù)列,,所以

所以,

又因為,所以),

是等差數(shù)列.

3)先證明恒成立.

假設(shè)存在,且為最小的正整數(shù).

依題意,則,

又因為,故當(dāng)時,不能等于任何子列所有項的和.

故假設(shè)不成立,即恒成立.

因此,即,所以.

因為,則,

時,則當(dāng)時,不能等于任何子列所有項的和.

,即.

此時可構(gòu)造集合.

當(dāng)時,可以等于集合中若干個元素的和;

當(dāng)時,可以等于集合中若干個元素的和;

當(dāng)時,可以等于集合中若干個元素的和;

當(dāng)時,可以等于集合中若干個元素的和;

當(dāng)時,可以等于集合中若干個元素的和;

所以當(dāng)取最小值時,的最大值為1010.

練習(xí)冊系列答案
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