Question

9．在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足$|\overrightarrow{DA}|$=$|\overrightarrow{DB}|$=$|\overrightarrow{DC}|$，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足$|\overrightarrow{AP}|$=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是（　�。�

• A． $\frac{43}{4}$
• B． $\frac{49}{4}$
• C． $\frac{37+6\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{37+2\sqrt{33}}{4}$

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow{DA}|$=$|\overrightarrow{DB}|$=$|\overrightarrow{DC}|$，可得D為△ABC的外心，又$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$，可得可得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得△ABC的邊長(zhǎng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，求得B，C的坐標(biāo)，再設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得BM的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：由$|\overrightarrow{DA}|$=$|\overrightarrow{DB}|$=$|\overrightarrow{DC}|$，可得D為△ABC的外心，
又$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$，可得
$\overrightarrow{DB}$•（$\overrightarrow{DA}$-$\overrightarrow{DC}$）=0，$\overrightarrow{DC}$•（$\overrightarrow{DB}$-$\overrightarrow{DA}$）=0，
即$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即有$\overrightarrow{DB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，可得D為△ABC的垂心，
則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．
由$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=-2，即有|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DA}$|cos120°=-2，
解得|$\overrightarrow{DA}$|=2，△ABC的邊長(zhǎng)為4cos30°=2$\sqrt{3}$，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，
可得B（3，-$\sqrt{3}$），C（3，$\sqrt{3}$），D（2，0），
由$|\overrightarrow{AP}|$=1，可設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可得M為PC的中點(diǎn)，即有M（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}$），
則|$\overrightarrow{BM}$|²=（3-$\frac{3+cosθ}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}+sinθ}{2}$+$\sqrt{3}$）²
=$\frac{（3-cosθ）^{2}}{4}$+$\frac{（3\sqrt{3}+sinθ）^{2}}{4}$=$\frac{37-6cosθ+6\sqrt{3}sinθ}{4}$
=$\frac{37+12sin（θ-\frac{π}{6}）}{4}$，
當(dāng)sin（θ-$\frac{π}{6}$）=1，即θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，取得最大值，且為$\frac{49}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的最值的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．