Question

（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135338266340.gif" style="vertical-align:middle;" />，
．…………………………………………………………2分
又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
所以，
即．………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由于．
當(dāng)時(shí)，對于，有在定義域上恒成立，
即在上是增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，由，得．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．……………………………8分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，  ．
令．
．………………………………10分
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．
又，所以在恒為負(fù)．
所以當(dāng)時(shí)，．
即．
故當(dāng)，且時(shí)，成立．………………………………13分