Question

已知正實(shí)數(shù)a，b，c及函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-1|．
（I）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥

a2+b2+c2

b+c

對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．求證：0＜a≤

2

-1．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）＜6的解集．
（Ⅱ）由題意利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）≥1-a，化簡可得（1-a）²≥a²+b²+c² ①；再由已知可得b²+c²≥

(1-a)2

2

 ②；結(jié)合①②以及0＜a＜1，求得a的范圍，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（I）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-1|，表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-1和5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故不等式f（x）＜6的解集為（-1，5）．
（Ⅱ）證明：∵f（x）=|x-a|+|x-1|≥|a-1|=1-a，結(jié)合題意可得1-a≥

a2+b2+c2

b+c

，
即1-a≥

a2+b2+c2

1-a

，即（1-a）²≥a²+b²+c² ①．
又∵a+b+c=1，a，b，c 為正實(shí)數(shù)，∴（1-a）²=（b+c）²≤2（b²+c²），∴b²+c²≥

(1-a)2

2

 ②．
綜合①②可得 （a-1）²≥a²+

(1-a)2

2

，即a²+2a-1≤0．
再結(jié)合0＜a＜1，求得0＜a≤

2

-1，故有0＜a≤

2

-1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．