Question

6．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍為[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 題意作出其平面區(qū)域，再由斜率的定義求得 $\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3，化簡$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，從而求其取值范圍．

解答 解：由題意作出$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$平面區(qū)域，
由$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，可得A（$\frac{13}{5}$，$\frac{7}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ x=1\end{array}\right.$，可得B（1，3）；
則 $\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
故$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$；令t=$\frac{y}{x}$，t∈$[\frac{7}{13}，3]$，
∵$t+\frac{1}{t}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號，
t=3時$t+\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，
故2≤$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤$\frac{10}{3}$；
故答案為：[2，$\frac{10}{3}$]．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細致認真，用到了表達式的幾何意義的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．