Question

9．隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺．已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如右圖所示．已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品．現(xiàn)以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤．
（Ⅰ）視x分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅲ）在頻率分布直方圖的市場需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值（組中值）代表該組的各個(gè)值，并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率（例如x∈[100，110），則取x=105，且x=105的概率等于市場需求量落入100，110）的頻率），求T的分布列及數(shù)學(xué)期望E（T）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=0.5x-0.3（130-x）=0.8x-39；當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，T=0.5×130，即可得出．
（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：當(dāng)x∈[100，110）時(shí)，T=0.8×105-39，P（T=45）=0.010×10；當(dāng)x∈[110，120）時(shí)，T=0.8×115-39，P（T=53）=0.020×10；當(dāng)x∈[120，130）時(shí)，T=0.8×125-39，P（T=61）=0.030×10；當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=0.5x-0.3（130-x）=0.8x-39；
當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，T=0.5×130=65．
∴T=$\left\{\begin{array}{l}{0.8x-39，100≤x＜130}\\{65，130≤x≤150}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：
當(dāng)x∈[100，110）時(shí)，T=0.8×105-39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；
當(dāng)x∈[110，120）時(shí)，T=0.8×115-39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；
當(dāng)x∈[120，130）時(shí)，T=0.8×125-39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；
當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．
所以T的分布列為

T	45	53	61	65
P	0.1	0.2	0.3	0.4

…（10分）
所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（萬元）．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．