Question

6．定義：若兩個二次曲線的離心率相等，則稱這兩個二次曲線相似．如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，右頂點為A，以其短軸的兩個端點B₁，B₂及其一個焦點為頂點的三角形是邊長為6的正三角形，M是C上異于B₁，B₂的一個動點，△MB₁B₂的重心為G，G點的軌跡記為C₁．
（Ⅰ）（i）求C的方程；
（ii）求證：C₁與C相似；
（Ⅱ）過B₁點任作一直線，自下至上依次與C₁、x軸的正半軸、C交于不同的四個點P，Q，R，S，求$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）設C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{c=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求C的方程；
（ii）求出軌跡C₁，可得離心率相等，即可證明C₁與C相似；
（Ⅱ）設直線方程為y=kx-3（k＞0），代入橢圓方程，求出相應線段的長，可得$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$的取值范圍．

解答 （Ⅰ）（i）解：設C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{c=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=6，b=3，
∴C的方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（ii）證明：設G（x，y），M（x₀，y）（x₀≠0），則x₀=3x，y₀=3y
把點M（3x，3y）的坐標代入C的方程，得軌跡C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠0），
∴軌跡C₁也為橢圓（除去（0，-1），（0，1）兩點），求得a₁=2，c₁=$\sqrt{3}$，e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e₁=e，
∴C₁與C相似；
（Ⅱ）解：設直線方程為y=kx-3（k＞0），代入C的方程得（1+4k²）x²-24kx=0，∴x_S=$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，y_S=$\frac{12{k}^{2}-3}{1+4{k}^{2}}$，
∴$|{B}_{1}S{|}^{2}$=$\frac{（24k）^{2}（1+{k}^{2}）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
代入C₁的方程得（1+4k²）x²-24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞$\sqrt{2}$，
由韋達定理得x_P+x_R=$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，x_Px_R=$\frac{32}{1+4{k}^{2}}$，
∴|PR|²=（1+k²）[$\frac{（24k）^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{128}{1+4{k}^{2}}$]．
∵|AQ|=6-$\frac{3}{k}$=$\frac{3（2k-1）}{k}$，
∴$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$
令f（k）=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$（k$＞\sqrt{2}$）
則f′（k）=$\frac{1}{3}$•$\frac{128[4{k}^{4}+{k}^{2}（12k-1）+1]}{（8{k}^{3}-4{k}^{2}+2k-1）^{2}}$＜0
∴f（k）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是減函數(shù)，
∴$f（k）＜f（\sqrt{2}$）=$\frac{128（4+\sqrt{2}）}{63}$
∴0＜$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$＜$\frac{128（4+\sqrt{2}）}{63}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合性強．