Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx-x}{x}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）對于任意的非零實(shí)數(shù)k，證明不等式（e+k²）ln（e+k²）＞e+2k²恒成立．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，可得極大值，無極小值；
（2）由題意可得要證原不等式成立，令x=e+k²，可得原不等式即為xlnx＞2x-e，即證x＞e時(shí)，即xlnx-2x+e＞0，令g（x）=xlnx-2x+e（x＞e），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{lnx-x}{x}$（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，可得x=e，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0．
可得f（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）；
f（x）的極大值為f（e）=$\frac{1-e}{e}$，無極小值；
（2）證明：要證原不等式成立，
令x=e+k²，可得原不等式即為xlnx＞2x-e，
即證x＞e時(shí)，xlnx＞2x-e，
即xlnx-2x+e＞0，
令g（x）=xlnx-2x+e（x＞e），可得g′（x）=1+lnx-2=lnx-1，
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
即有g(shù)（x）＞g（e）=elne-2e+e=0，
則x＞e時(shí)，xlnx＞2x-e成立，
即有對于任意的非零實(shí)數(shù)k，
不等式（e+k²）ln（e+k²）＞e+2k²恒成立．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法，判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．