分析 (1)直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在[3,4]上為減函數(shù),把對任意x∈[3,4],不等式f(x)-m+1≤0恒成立,轉(zhuǎn)化為m-1≥f(x)max,x∈[3,4],由單調(diào)性求出f(x)在[3,4]上的最大值得答案.
解答 (1)證明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
則f(x1)−f(x2)=log2(1+2x1−1)−log2(1+2x2−1)=log21+2x1−11+2x2−1
=log2(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1)=log2x1x2+(x2−x1)−1x1x2−(x2−x1)−1.
∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
∴x1x2+(x2-x1)-1>x1x2-(x2-x1)-1>0,則x1x2+(x2−x1)−1x1x2−(x2−x1)−1>1,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù);
(2)解:∵對任意x∈[3,4],不等式f(x)-m+1≤0恒成立,
∴m-1≥f(x)max,x∈[3,4],
由(1)知,函數(shù)f(x)在[3,4]上為減函數(shù),
∴f(x)在[3,4]上的最大值為f(x)max=f(3)=1,
∴m-1≥1,得m≥2,
∴求實數(shù)m的取值范圍[2,+∞).
點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)性質(zhì)的應用,體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,屬中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,25] | B. | (0,23] | C. | (0,1] | D. | (0,2] |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {4} | B. | {1} | C. | {4,5} | D. | {1,4,5} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 230.5,220 | B. | 231.5,232 | C. | 231,231 | D. | 232,231 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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