Question

19．已知函數(shù)$f（x）={log_2}（1+\frac{2}{x-1}）$．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若對任意x∈[3，4]，不等式f（x）-m+1≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[3，4]上為減函數(shù)，把對任意x∈[3，4]，不等式f（x）-m+1≤0恒成立，轉(zhuǎn)化為m-1≥f（x）_max，x∈[3，4]，由單調(diào)性求出f（x）在[3，4]上的最大值得答案．

解答 （1）證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_2}（1+\frac{2}{{{x_1}-1}}）-{log_2}（1+\frac{2}{{{x_2}-1}}）={log_2}\frac{{1+\frac{2}{{{x_1}-1}}}}{{1+\frac{2}{{{x_2}-1}}}}$
=${log_2}\frac{{（{x_1}+1）（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}+1）}}={log_2}\frac{{{x_1}{x_2}+（{x_2}-{x_1}）-1}}{{{x_1}{x_2}-（{x_2}-{x_1}）-1}}$．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂+1）＞0，
∴x₁x₂+（x₂-x₁）-1＞x₁x₂-（x₂-x₁）-1＞0，則$\frac{{{x_1}{x_2}+（{x_2}-{x_1}）-1}}{{{x_1}{x_2}-（{x_2}-{x_1}）-1}}＞1$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）解：∵對任意x∈[3，4]，不等式f（x）-m+1≤0恒成立，
∴m-1≥f（x）_max，x∈[3，4]，
由（1）知，函數(shù)f（x）在[3，4]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[3，4]上的最大值為f（x）_max=f（3）=1，
∴m-1≥1，得m≥2，
∴求實數(shù)m的取值范圍[2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．