Processing math: 85%
19.已知函數(shù)fx=log21+2x1
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù);
(2)若對任意x∈[3,4],不等式f(x)-m+1≤0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在[3,4]上為減函數(shù),把對任意x∈[3,4],不等式f(x)-m+1≤0恒成立,轉(zhuǎn)化為m-1≥f(x)max,x∈[3,4],由單調(diào)性求出f(x)在[3,4]上的最大值得答案.

解答 (1)證明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
fx1fx2=log21+2x11log21+2x21=log21+2x111+2x21
=log2x1+1x21x11x2+1=log2x1x2+x2x11x1x2x2x11
∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
∴x1x2+(x2-x1)-1>x1x2-(x2-x1)-1>0,則x1x2+x2x11x1x2x2x111,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù);
(2)解:∵對任意x∈[3,4],不等式f(x)-m+1≤0恒成立,
∴m-1≥f(x)max,x∈[3,4],
由(1)知,函數(shù)f(x)在[3,4]上為減函數(shù),
∴f(x)在[3,4]上的最大值為f(x)max=f(3)=1,
∴m-1≥1,得m≥2,
∴求實數(shù)m的取值范圍[2,+∞).

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)性質(zhì)的應用,體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,屬中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,點E是PD的中點,AB=2,PA=3.
(1)求證:PB∥平面EAC;
(2)求證:CD⊥AE;
(3)求二面角E-AC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=2f(x),當x∈[0,2)時,fx={x2xx[0112|x32|x[12,若x∈[-4,-2)時,fx1412t恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( �。�
A.025]B.023]C.(0,1]D.(0,2]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.已知區(qū)間U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={1,4},則(∁UA)∩B=( �。�
A.{4}B.{1}C.{4,5}D.{1,4,5}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

14.eln3+1823=7.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.718828…)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.下面的莖葉圖表示連續(xù)多天同一路口同一時段通過車輛的數(shù)目,則這些車輛數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( �。�
A.230.5,220B.231.5,232C.231,231D.232,231

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

11.在△ABC中,|AB|=5,|AC|=6,若B=2C,則邊BC的長為( �。�
A.5B.115C.95D.75

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面是以O為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=\frac{π}{3},M為BC上一點,且BM=\frac{1}{2}
(1)證明:BC⊥平面POM;
(2)若MP⊥AP,求四棱錐P-ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.某校高三文科班150名男生在“學生體質(zhì)健康50米跑”單項測試中,成績?nèi)拷橛?秒與11秒之間.現(xiàn)將測試結(jié)果分成五組:第一組[6,7];第二組(7,8],…,第五組(10,11].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按國家標準,高三男生50米跑成績小于或等于7秒認定為優(yōu)秀,若已知第四組共48人,則該校文科班男生在這次測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)是9.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案