Question

10．定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x∈[0，1）\\-{（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}}，x∈[1，2）\end{array}\right.$，若x∈[-4，-2）時，$f（x）≥\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{2}{5}]$
• B． $（0，\frac{2}{3}]$
• C． （0，1]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根據(jù)條件，只要求出函數(shù)f（x）在x∈[-4，-2]上的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：當x∈[0，2）時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x∈[0，1）\\-{（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}}，x∈[1，2）\end{array}\right.$∈[-$\frac{1}{4}$，0]∪[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴當x∈[0，2）時，f（x）的最小值為f（$\frac{3}{2}$）=-1，
又∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2），
當x∈[-2，0）時，f（x）的最小值為f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
當x∈[-4，-2）時，f（x）的最小值為f（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$
若x∈[-4，-2]時，$f（x）≥\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立．
即$\frac{t-1}{2t}$≤0，則0＜t≤1，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法，難度較大．