Question

15．已知圓M：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=16，N（-$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)P在圓M上，點(diǎn)Q在MP上，且點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{NC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NP}$，$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{NP}$=0
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）過(guò)x軸上一點(diǎn)D作圓O：x²+y²=1的切線l交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，由圖可得，|NQ|+|MQ|=|MP|=4，說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以N，M為焦點(diǎn)，以2為長(zhǎng)半軸的橢圓，進(jìn)一步求得其軌跡方程；
（2）對(duì)直線的斜率存在和不存在分類，斜率不存在時(shí)，直接求出A，B的坐標(biāo)可得△AOB的面積，并得到D的坐標(biāo)；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得|AB|的最大值，進(jìn)一步求得△AOB的面積的最大值，并求得D的坐標(biāo)，綜合后可得答案．

解答 解：（1）圓M：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=16，N（-$\sqrt{3}$，0），
如圖，
∵$\overrightarrow{NC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NP}$，∴C為線段NP的中點(diǎn)，又$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{NP}$=0，
∴CQ⊥NP，則|NQ|=|PQ|，則|NQ|+|MQ|=|MP|=4．
∵|MN|=$2\sqrt{3}＜4$，
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以N，M為焦點(diǎn)，以2為長(zhǎng)半軸的橢圓，
∴b²=a²-c²=1，則E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）如圖，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，由${y}^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，得y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{3}$，△AOB的面積S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此時(shí)D（-1，0）或（1，0）；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx+m（k≠0），
由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得m²=1+k²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=48k²＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{48{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{48{k}^{4}+48{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{（4{k}^{2}+1）^{2}+2（4{k}^{2}+1）-3}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$
=$\sqrt{3}•\sqrt{-\frac{3}{（4{k}^{2}+1）^{2}}+2\frac{1}{4{k}^{2}+1}+1}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{4{k}^{2}+1}=\frac{1}{3}$時(shí)，|AB|有最大值為2，則△AOB的面積有最大值為$\frac{1}{2}×2×1=1$．
此時(shí)k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，m=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$，直線方程有四條，分別為$y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}$，y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}$．
D的坐標(biāo)為（$±\sqrt{3}，0$）．
綜上，△AOB的面積的最大值為1，D的坐標(biāo)為（$±\sqrt{3}，0$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬難題．