Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=45°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．
（1）求證：BC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（3）求三棱錐C-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明BC∥B₁C₁，然后證明BC∥平面A₁B₁C₁．
（2）證明CB⊥AB．CB⊥BB₁，推出CB⊥面AA₁B₁B，得到CB⊥AB₁，然后證明AB₁⊥A₁B，即可證明AB₁⊥面A₁BC．
（3）過B作BD⊥A₁B₁于D，說明BD⊥面AA₁B₁B，然后求解幾何體的體積即可．

解答 解：（1）證明：∵四邊形BCC₁B₁為矩形，
∴BC∥B₁C₁，
∵BC?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁．
（2）證明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，
滿足AC²=AB²+BC²，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB．
又因為四邊形BCC₁B₁為矩形，所以CB⊥BB₁，
又$\left\{\begin{array}{l}CB⊥B{B_1}\\ CB⊥AB\\ B{B_1}?面A{A_1}{B_1}B\\ AB?面A{A_1}{B_1}B\\ B{B_1}∩AB=B\end{array}\right.$，所以CB⊥面AA₁B₁B，
又因為AB₁?面AA₁B₁B，所以CB⊥AB₁，
又因為四邊形A₁ABB₁為菱形，所以AB₁⊥A₁B，
又$\left\{\begin{array}{l}A{B_1}⊥CB\\ A{B_1}⊥{A_1}B\\ CB?面{A_1}BC\\{A_1}B?面{A_1}BC\\ CB∩{A_1}B=B\end{array}\right.$，所以AB₁⊥面A₁BC．
（3）解：過B作BD⊥A₁B₁于D，
由第（1）問已證CB⊥面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥BD，
∴BD⊥面AA₁B₁B，
由題設知$BD=2\sqrt{2}$，
∴${V_{錐C-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{A_1}{B_1}•{B_1}{C_1}•BD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3×2\sqrt{2}$=$4\sqrt{2}$．
∴三棱錐C-A₁B₁C₁的體積是$4\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力邏輯推理能力以及計算能力．