Question

16．關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+a=0
（1）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
（2）若此方程有兩正根，求a的取值范圍．
（3）是否存在a的值使得此方程有兩負(fù)根．
（4）是否存在a的值使得此方程有一正根，一負(fù)根．
（5）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根比3大，一根比3小，求字母a的取值范圍．
（6）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩根都比1大，求字母a的取值范圍．
（7）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根比3大，一根比1小，求字母a的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=x²-4x+a，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得各種條件下實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+a=0，令f（x）=x²-4x+a，
（1）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=16-4a＞0，求得a＜4．
（2）若此方程有兩正根，則$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a≥0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤4．
（3）根據(jù)x₁+x₂=4，可得不存在a的值使得此方程有兩負(fù)根．
（4）令$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a＜0}\end{array}\right.$，求得a＜0，可得存在a＜0，使得此方程有一正根，一負(fù)根．
（5）令f（3）=9-12+a＜0，求得a＜3，可得當(dāng)a＜3時(shí)，此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根比3大，一根比3�。�
（6）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩根都比1大，則有$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a≥0}\\{f（1）=1-4+a＞0}\end{array}\right.$，求得3＜a≤4．
（7）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根比3大，一根比1小，則由$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-3＜0}\\{f（3）=-3+a＜0}\end{array}\right.$，求得a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．